• Площадь параллелограмма

    Первый способ вычисления площади параллелограмма связан с одной из самых простых фигур – прямоугольником. Доказательство: если провести в параллелограмме высоту h, то мы разделим его на две фигуры – треугольник и трапецию.

    перемещение треугольника по другую сторону трапеции   параллелограмм высота и сторонапараллелограмм высота и сторона

    Совершив несложное перемещение треугольника по другую сторону трапеции, мы получим прямоугольник, равный по площади нашему параллелограмму. И поскольку площадь прямоугольника находится умножением его сторон, то в данном случае мы поступим аналогично, только вместо длины прямоугольника в формуле будет сторона параллелограмма, а вместо ширины – его высота. формула площади параллелограмма зная сторону и высоту


    Второй способ использует для нахождения площади параллелограмма его стороны и синус острого угла между ними. Это логически вытекает из первого способа, в случае если высота неизвестна. Доказательство: высота в параллелограмме всегда образует прямоугольный треугольник с одной из сторон, в котором действуют тригонометрические отношения.

    высота, стороны и угол параллелограмманайти синус угла в прямоугольном треугольнике

    Синус угла, по определению, это отношение противолежащего катета к гипотенузе – то есть высоты к стороне для параллелограмма: формула синус угла , следовательно формула высоты параллелограмма. Подставляем в формулу из первого способа: формула площади круга зная радиус


    Третий способ основан на диагоналях параллелограмма и углу между ними. Доказательство: Диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника, соответственно площадь параллелограмма будет состоять из площадей этих треугольников: .

    диагонали параллелограмма

    Используем следующую формулу для нахождения площади треугольника формула площади треугольника, а учитывая, что , то во всех площадях треугольников будет фигурировать один и тот же sin⁡ γ, потому что между диагоналями все углы дополнительные друг другу до 180°, то есть или γ, или 180°-γ.
    Тогда получаем: .
    Выносим формула площади круга зная радиус за скобки: Методом группировки собираем скобку в множители (помним, что AO и OA это одно и то же): И здесь уже из чертежа видно,что AO+OC вместе составляют диагональ AC, и BO+OD=BD. Таким образом, получаем формулу: или в общем виде, для любого параллелограмма формула площади параллелограмма зная диагонали и угол между ними, где d1 и d2 – диагонали, а γ – острый угол между ними.

    Основание и высота параллелограмма

    Найти площадь параллелограмма, зная основание и высоту

    Стороны и угол параллелограмма

    Найти площадь параллелограмма, зная стороны и угол

    Диагонали и угол параллелограмма

    Найти площадь параллелограмма, зная диагонали и угол между ними