• Площадь основания и высота конуса

    Конус - радиус, образующая, высота, площадь, объем, площадь боковой поверхности, площадь основания, площадь осевого сечения, угол раствора, угол наклона образующей, радиус вписанной сферы, радиус описанной сферы

    Свойства

    r - радиус
    d - диаметр
    l - образующая
    h - высота
    V - объем
    S - площадь
    α, β - угол
    R - радиус описанной сферы
    r1 - радиус вписанной сферы
    Площадь основания и высота конуса

    Вычисление

    Зная площадь основания конуса, можно рассчитать радиус, диаметр и периметр основания конуса, преобразовав стандартные формулы. r=√(S_(осн.)/π) d=2√(S_(осн.)/π) P=2πr=2√(πS_(осн.) )

    Высота, образующая и радиус конуса соединяются в прямоугольный треугольник, из которого по теореме Пифагора можно найти любое значение, зная остальные два. Угол наклона конуса можно найти из этого же треугольника через отношение тангенса, а уже через него во втором, равнобедренном треугольнике вычислить угол раствора конуса. (рис.40.1,40.2) l=√(h^2+r^2 )=√(h^2+S_(осн.)/π) tan⁡β=h/r α=180°-2β

    Вычислить площадь боковой поверхности конуса через площадь основания и высоту можно, заменив радиус и образующую конуса в формуле на соответствующие выражения. Чтобы найти площадь полной поверхности конуса, следует поступить аналогично. S_(б.п.)=πrl=√(πS_(осн.) (h^2+S_(осн.)/π) ) S_(п.п.)=S_(осн.)+√(πS_(осн.) (h^2+S_(осн.)/π) )

    Объем конуса в стандартном виде представляет собой отношение произведения высоты и площади основания к трем, поэтому его можно вычислить сразу через площадь основания и высоту, заданные в условии. V=1/3 hS_(осн.)

    Чтобы найти радиус сферы, вписанной в конус, нужно умножить высоту на выражение, найденное для радиуса, и разделить это на сумму образующей и радиуса. Радиус сферы, описанной около конуса, будет равен образующей во второй степени, деленной на удвоенную высоту. (рис. 40.3, 40.4) r_1=hr/(l+r)=(h√(S_(осн.)/π))/(√(h^2+S_(осн.)/π)+√(S_(осн.)/π)) R=(h^2+r^2)/2h=(h^2+S_(осн.)/π)/2h