• Образующая и высота конуса

    Конус - радиус, образующая, высота, площадь, объем, площадь боковой поверхности, площадь основания, площадь осевого сечения, угол раствора, угол наклона образующей, радиус вписанной сферы, радиус описанной сферы

    Свойства

    r - радиус
    d - диаметр
    l - образующая
    h - высота
    V - объем
    S - площадь
    α, β - угол
    R - радиус описанной сферы
    r1 - радиус вписанной сферы
    Образующая и высота конуса

    Вычисление

    Через образующую и высоту конуса можно найти радиус, построив прямоугольный треугольник, в котором образующая является гипотенузой, а высота и радиус – катетами. Из этого же треугольника становится возможным вычислить угол между образующей и основанием, а для того чтобы найти угол раствора конуса, необходимо вернуться к равнобедренному треугольнику из двух образующих и диаметра, в котором угол раствора будет равен разности двух углов при основании от 180 градусов. (рис.40.1, 40.2) r=√(l^2-h^2 ) sin⁡β=h/l α=180°-2β

    Теперь, зная радиус конуса, можно найти диаметр, периметр и площадь основания круга, подставив в стандартные формулы квадратный корень, полученный по теореме Пифагора. d=2r=2√(l^2-h^2 ) P=2πr=2π√(l^2-h^2 ) S_(осн.)=πr^2=π(l^2-h^2)

    Площадь боковой поверхности конуса и площадь полной поверхности конуса, выраженные через высоту и образующую, также содержат в формулах вместо радиуса квадратный корень из разности квадратов образующей и высоты. S_(б.п.)=πrl=πl√(l^2-h^2 ) S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=π(lr+r^2 )=π(l√(l^2-h^2 )+l^2-h^2)

    Чтобы вычислить объем конуса через высоту и образующую, необходимо умножить треть числа π на высоту и разность квадратов образующей и высоты вместо квадрата радиуса. V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3=(πh(l^2-h^2))/3

    Радиус сферы, которая может быть вписана в конус, напрямую зависит не только от высоты и образующей, но и от радиуса, поэтому его формула существенно услояжняется наличием радикала, полученного через теорему Пифагора для радиуса конуса. В то же время радиус описанной вокруг конуса сферы зависит только от образующей и высоты, представляя собой отношение квадрата образующей к удвоенной высоте. (рис.40.3, 40.4) r_1=hr/(l+r)=(h√(l^2-h^2 ))/(l+√(l^2-h^2 )) R=l^2/2h