• Угол раствора и высота конуса

    Конус - радиус, образующая, высота, площадь, объем, площадь боковой поверхности, площадь основания, площадь осевого сечения, угол раствора, угол наклона образующей, радиус вписанной сферы, радиус описанной сферы

    Свойства

    r - радиус
    d - диаметр
    l - образующая
    h - высота
    V - объем
    S - площадь
    α, β - угол
    R - радиус описанной сферы
    r1 - радиус вписанной сферы
    Угол раствора и высота конуса

    Вычисление

    Используя равнобедренный треугольник, где в качестве сторон выступают диаметр основания и образующие по обеим его сторонами, можно найти угол между образующей и основанием, равный половине разности угла раствора от 180 градусов. Затем через найденный угол с основанием в прямоугольном треугольнике с высотой и радиусом можно вычислить саму образующую и радиус конуса. (рис. 40.2, 40.1) β=(180°-α)/2 l=h/sin⁡β r=cot⁡β h

    Подставив полученное значение радиуса в формулы основания, такие как диаметр, периметр и площадь, найдем их через угол и высоту конуса. d=2r=2 cot⁡β h P=2πr=2π cot⁡β h S_(осн.)=πr^2=πh^2 cot^2⁡β

    Чтобы вычислить площадь боковой поверхности через угол раствора и высоту конуса необходимо воспользоваться полученным углом между образующей и основанием и тригонометрическими отношениями для радиуса и образующей конуса, подставив их в нужные формулы. S_(б.п.)=πrl=π ( cot⁡β h^2)/sin⁡β =πh^2 cos⁡β S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πh^2 (cos⁡β+cot^2⁡β )

    Объем конуса стандартно выражен через площадь основания и высоту, разделенные на три. Так как площадь основания равна произведению числа π на квадрат высоты и квадрат котангенса угла β, то необходимо подставить это выражение в формулу вместо площади, чтобы найти объем через угол раствора и высоту. V=(hS_(осн.))/3=(πh^3 cot^2⁡β)/3

    Радиусы вписанной и описанной сфер около конуса могут быть найдены с использованием угла раствора и угла при основании конуса с тем небольшим изменением в формулах, что вместо радиуса будет подставлено произведение высоты на котангенс угла наклона. (рис.40.3, 40.4) r_1=r tan⁡〖β/2〗=h cot⁡β tan⁡〖β/2〗 R=r/sin⁡α =(cot⁡β h)/sin⁡α