• Объем и высота конуса

    Конус - радиус, образующая, высота, площадь, объем, площадь боковой поверхности, площадь основания, площадь осевого сечения, угол раствора, угол наклона образующей, радиус вписанной сферы, радиус описанной сферы

    Свойства

    r - радиус
    d - диаметр
    l - образующая
    h - высота
    V - объем
    S - площадь
    α, β - угол
    R - радиус описанной сферы
    r1 - радиус вписанной сферы
    Объем и высота конуса

    Вычисление

    Поскольку объем конуса равен произведению высоты на треть площади основания конуса, то, зная объем и высоту, легко найти площадь круга в основании, а затем радиус и диаметр конуса. S_(осн.)=3V/h r=√(S_(осн.)/π)=√(3V/πh) d=2r=2√(3V/πh)

    Чтобы найти образующую конуса через объем и высоту, необходимо построить прямоугольный треугольник с образующей в виде гипотенузы и радиусом и высотой как катетами треугольника. Тогда образующая будет равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и радиуса по теореме Пифагора, а угол между основанием и образующей можно будет найти через тангенс отношения высоты к радиусу. (рис.40.1) l=√(h^2+r^2 )=√(h^2+3V/πh) tan⁡β=h/r=h/√(3V/πh)=h√(πh/3V)

    Угол раствора конуса можно найти, зная угол между образующей и основанием, и соединив их в равнобедренном треугольнике, где боковой стороной будет образующая, а основанием треугольника – диаметр конуса. (рис.40.2) α=180°-2β

    Площадь боковой поверхности конуса равна произведению радиуса на образующую и число π, а площадь полной поверхности представляет собой сумму площади боковой поверхности и площади основания, которую можно найти через объем. S_(б.п.)=πrl=π√(3V/πh (h^2+3V/πh) ) S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=π√(3V/πh (h^2+3V/πh) )+3V/h

    Радиусы вписанной и описанной около конуса сфер можно найти из отношений, связывающих не только высоту конуса, которая известна, но и образующую, а также радиус основания конуса. (рис.40.3,40.4) r_1=hr/(l+r)=(h√(3V/πh))/(√(h^2+3V/πh)+√(3V/πh))=(h√3V)/(√(πh^3+3V)+√3V) R=(h^2+3V/πh)/2h