• Радиус описанной сферы куба

    Куб - сторона, площадь, площадь стороны, объем, длина рёбер, периметр стороны, диагональ, диагональ стороны, радиус вписанной сферы, радиус описанной сферы

    Свойства

    a - ребро
    d - диагональ
    V - объем
    S - площадь
    P - периметр
    r - радиус вписанной сферы
    R - радиус описанной сферы
    Радиус описанной сферы куба

    Вычисление

    Если описать вокруг куба сферу, то ее диаметр будет соединять противоположные вершины куба, образуя диагональ куба. Таким образом, радиус описанной сферы куба равен половине диагонали, следовательно, сама диагональ куба равна удвоенному радиусу описанной сферы. (рис.2.3) D=2R

    Так как эта же диагональ связывает теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике диагональ стороны куба и ребро куба, то становится возможным вычислить и их через радиус описанной сферы куба, используя формулы диагонали. D=a√3 a=D/√3=2R/√3 a^2+d^2=D^2 (2R/√3)^2+d^2=(2R)^2 d^2=(8R^2)/3 d=√(8/3) R

    Чтобы вычислить площадь грани куба, нужно рассмотреть ее в плоскости. Стороной куба является квадрат, поэтому его площадь равна стороне квадрата, то есть ребру куба, во второй степени. Площадь боковой поверхности куба состоит из четырех боковых граней-квадратов, а площадь полной поверхности – из шести граней, поэтому для их вычисления нужно умножить площадь одной грани на их количество. Чтобы найти площади куба через радиус сферы, описанной вокруг него, нужно подставить вместо ребра куба удвоенный радиус, деленный на корень из трех. S=a^2=(2R/√3)^2=(4R^2)/3 S_(б.п.)=4S=(16R^2)/3 S_(п.п.)=6S=(24R^2)/3

    Объем куба, зная радиус описанной вокруг него сферы, вычисляется возведением в третью степень выражения для ребра куба. V=a^3=(2R/√3)^3=(8R^3)/(3√3)

    Периметр куба, как умноженное на 12 ребро куба, представлено через радиус описанной вокруг сферы окружности в виде отношения радиуса, умноженного на 24, к корню из трех. P=12a=24R/√3

    Чтобы вычислить радиус сферы, вписанной в куб, через радиус сферы, описанной около него, нужно разделить ребро куба на два, то есть разделить радиус описанной сферы на корень из трех. r=a/2=2R/(2√3)=R/√3