• Диаметр и объем цилиндра

    Цилиндр - радиус, объем, диаметр, площадь, площадь боковой поверхности, площадь основания, диагональ осевого сечения, окружность основания, радиус вписанной сферы, радиус описанной сферы

    Свойства

    r - радиус
    D - диаметр
    d - диагональ
    P - окружность
    V - объем
    S - площадь
    h - высота
    R - радиус описанной сферы
    r1 - радиус вписанной сферы
    Диаметр и объем цилиндра

    Вычисление

    Если выразить периметр основания цилиндра через диаметр, то он будет равен его произведению на число π, так как радиус в формуле периметра равен половине диаметра и, следовательно, коэффициенты сокращаются. r=D/2 P=2πr=πD

    Зная диаметр и объем цилиндра, можно найти его высоту, как отношение четырех объемов и произведения квадрата диаметра на числа π. h=4V/(πD^2 )

    Площадь боковой и полной поверхности цилиндра можно вычислить через диаметр и высоту, или через диаметр и объем, используя соответствующее выражение для высоты. Площадь боковой поверхности цилиндра равна отношению четырех объемов к диаметру. Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площади боковой поверхности и двух площадей основания. S_(б.п.)=hP=πDh=πD 4V/(πD^2 )=4V/D S_(п.п.)=S_(б.п.)+2S_(осн.)=4V/D+(πD^2)/4=(16V+πD^3)/4D

    Диагональ цилиндра можно вычислить по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, который образован диаметром окружности в основании цилиндра и высотой цилиндра. (рис.25.1) d=√(D^2+h^2 )=√(D^2+(4V/(πD^2 ))^2 )=√(D^2+(4V^2)/(π^2 D^4 ))

    Если диаметр окружности, находящейся в основании цилиндра, равен его высоте, то в такой цилиндр можно вписать сферу, или описать сферу вокруг него. Радиус сферы, вписанной в цилиндр, равен радиусу самого цилиндра, так как окружность вращения сферы совпадает по размерам с окружность в основании цилиндра. Поэтому чтобы найти его надо разделить диаметр цилиндра на два. Радиус сферы, описанной вокруг цилиндра, равен половине диагонали. (рис.25.2,25.3) r_1=r=D/2 R=d/2=√(D^2+(4V^2)/(π^2 D^4 ))/2