• Диагонали и угол "γ" параллелограмма

    Параллелограмм - площадь, периметр, угол, диагональ, угол между диагоналями, биссектриса угла, высота

    Свойства

    a, b - стороны
    α, β - углы
    γ, δ - углы между диагоналями
    h - высота
    l - биссектриса
    d1, d2 - диагональ
    Стороны и высота параллелограмма

    Вычисление

    Зная диагонали и угол γ между ними, можно найти стороны параллелограмма, воспользовавшись теоремой косинусов в треугольниках, образованных половинами диагоналей и каждой стороной параллелограмма по очереди. В данном случае, угол γ расположен напротив стороны a, поэтому ее формула будет выглядеть следующим образом. (рис.106.3) a=√(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2-2d_1 d_2 cos⁡γ )

    Угол δ, дополнительный углу γ до 180 градусов в пересечении диагоналей, может быть найден разностью этих значений. При этом косинус угла δ будет числом, противоположным косинусу угла γ, поэтому в нахождении второй стороны параллелограмма b они будут взаимозаменяемы. δ=180°-γ cos⁡δ=-cos⁡γ b=√(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2+2d_1 d_2 cos⁡γ )

    Зная обе стороны и диагонали, можно найти углы параллелограмма через все ту же теорему косинусов. (рис.106.2) cos⁡α=(a^2+b^2-〖d_2〗^2)/2ab=(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2-2d_1 d_2 cos⁡γ+〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2+2d_1 d_2 cos⁡γ-〖d_2〗^2 ):2√(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2-2d_1 d_2 cos⁡γ ) √(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2+2d_1 d_2 cos⁡γ )=(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2)/(4√((〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2 )^2 -〖(2d_1 d_2 cos⁡γ)〗^2 ))

    Второй угол β по определению равен разности угла α из 180 градусов. β=180°-α

    Высота параллелограмма образует прямоугольный треугольник, где выражается через синус угла α в виде его произведения на противоположную высоту сторону параллелограмма. h_b=a sin⁡α h_a=b sin⁡α

    Последний элемент параллелограмма – это биссектриса, которая также как и диагональ, создает внутри параллелограмма треугольник, но в данном случае уже равнобедренный, с боковой стороной в виде меньшей стороны параллелограмма. Вычислить биссектрису можно, применив теорему косинусов в таком треугольнике. (рис.106.4) l_α=√(2a^2-2a^2 cos⁡β )=a√(2-2 cos⁡β ) l_β= b√(2-2 cos⁡α )