• Диагонали и сторона "A" параллелограмма

    Параллелограмм - площадь, периметр, угол, диагональ, угол между диагоналями, биссектриса угла, высота

    Свойства

    a, b - стороны
    α, β - углы
    γ, δ - углы между диагоналями
    h - высота
    l - биссектриса
    d1, d2 - диагональ
    Диагонали и сторона параллелограмма

    Вычисление

    Зная диагонали и сторону a в параллелограмме, можно найти угол пересечения диагоналей, находящийся напротив известной стороны. В треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной параллелограмма, косинус угла будет равен сумме квадратов половин диагоналей за вычетом квадрата стороны a, деленной на удвоенное произведение половин диагоналей.(рис.106.3) cos⁡γ=(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2-a^2)/((d_1 d_2)/4)=(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2-4a^2)/(2d_1 d_2 )

    Второй центральный угол является дополнительным до 180 градусов для угла γ, и может быть найден через разность. Затем методом, обратным вышеописанному, из другого треугольника можно найти сторону b. δ=180°-γ cos⁡δ=-cos⁡γ b=√(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2+2d_1 d_2 cos⁡γ )

    Зная диагонали и стороны параллелограмма, можно найти углы параллелограмма также через теорему косинусов. (рис.106.2) cos⁡α=(a^2+b^2-〖d_2〗^2)/2ab β=180°-α

    Высота параллелограмма может быть рассчитана из прямоугольного треугольника, так как, являясь катетом, она относится к гипотенузе, как синус противолежащего ей угла α, вне зависимости от того, на какую сторону она опущена. Поэтому, выразив высоту через синус, можно подставить выражение для стороны a и найти ее через диагонали. (рис.106.1) h_b=a sin⁡α h_a=b sin⁡α

    Биссектрисой параллелограмма называется отрезок, делящий пополам угол α или β, и проведенный до ближайшей стороны. Примечательно, что для обеих биссектрис отрезок всегда будет пересекать более длинную сторону параллелограмма, образуя равнобедренный треугольник. В таком треугольнике, зная угол и меньшую сторону параллелограмма, можно найти биссектрису, через диагонали это возможно сделать, заменив выражения в формуле эквивалентными. (рис.106.4) l_α=√(2a^2-2a^2 cos⁡β )=a√(2-2 cos⁡β ) l_β= b√(2-2 cos⁡α )