• Высоты и угол "α" параллелограмма

    Параллелограмм - площадь, периметр, угол, диагональ, угол между диагоналями, биссектриса угла, высота

    Свойства

    a, b - стороны
    α, β - углы
    γ, δ - углы между диагоналями
    h - высота
    l - биссектриса
    d1, d2 - диагональ
    Высоты и угол параллелограмма

    Вычисление

    Высота в параллелограмме формирует прямоугольный треугольник, в котором относится к противоположной стороне, как синус угла α. Исходя из этого, противоположная сторона параллелограмма равна отношению высоты к синусу. (рис.106.1) h_b=a sin⁡α h_a=b sin⁡α a=h_b/sin⁡α b=h_a/sin⁡α

    Второй угол параллелограмма β равен разности 180 градусов и угла α, так как полусумма углов параллелограмма равна по значению развернутому углу, что значит, что они дополняют друг друга до 180 градусов. β=180°-α

    Диагонали параллелограмма делят его на два треугольника каждая. В таком треугольнике, сторонами являются стороны параллелограмма и диагональ, при этом один из углов параллелограмма находится напротив диагонали, что дает возможность использовать теорему косинусов, чтобы вычислить диагональ. (рис.106.2) d_1=√(a^2+b^2+2ab cos⁡α ) d_2=√(a^2+b^2-2ab cos⁡α )

    Найти углы между диагоналями можно по той же теореме косинусов, но в другом треугольнике, сторонами которого являются половины диагоналей, так как точкой пересечения диагонали делятся пополам, а угол между диагоналями находится прямо напротив стороны параллелограмма. (рис.106.3) cos⁡γ=(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2-a^2)/((d_1 d_2)/4)=(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2-4a^2)/(2d_1 d_2 ) cos⁡δ=(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2-4b^2)/(2d_1 d_2 )

    Биссектриса параллелограмма берет свое начало в вершине угла α или β, и откладывает на длинной стороне параллелограмма длину меньшей стороны таким образом, чтобы получить равнобедренный треугольник. В этом треугольнике биссектриса находится напротив угла, дополнительного до 180 градусов тому, который она разделила. Из теоремы косинусов для равнобедренного треугольника можно найти биссектрису. (рис.106.4) l_α=√(2a^2-2a^2 cos⁡β )=a√(2-2 cos⁡β ) l_β= b√(2-2 cos⁡α )