• Стороны и угол "α" параллелограмма

    Параллелограмм - площадь, периметр, угол, диагональ, угол между диагоналями, биссектриса угла, высота

    Свойства

    a, b - стороны
    α, β - углы
    γ, δ - углы между диагоналями
    h - высота
    l - биссектриса
    d1, d2 - диагональ
    Стороны и угол

    Вычисление

    Зная стороны параллелограмма и угол α между ними, можно найти высоту, которая соединяет все три элемента в прямоугольный треугольник. (рис.106.1) h_b=a sin⁡α h_a=b sin⁡α

    Периметр параллелограмма вычисляется как сумма длин всех его сторон, или сокращенно удвоенная сумма двух его сторон, а для того чтобы найти площадь нужно умножить сторону, на которую опущена высота, на саму высоту. P=2(a+b) S=ah_a=a^2 sin⁡α S=bh_b=b^2 sin⁡α

    Второй угол параллелограмма является дополнительным первому до 180 градусов, следовательно, его можно найти разностью этих двух значений. β=180°-α

    Зная все стороны параллелограмма и оба угла, можно найти диагонали, как противоположные стороны треугольников со сторонами параллелограмма в теореме косинусов. Косинус угла β заменяется на косинус угла α с противоположным знаком, чтобы выразить формулу через имеющиеся данные.(рис.106.2) d_1=√(a^2+b^2+2ab cos⁡α ) d_2=√(a^2+b^2-2ab cos⁡α )

    Углы между диагоналями также подчиняются теореме косинусов в треугольниках, где сторонами являются половины диагоналей и стороны параллелограмма. (рис.106.3) cos⁡γ=(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2-a^2)/((d_1 d_2)/4)=(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2-4a^2)/(2d_1 d_2 ) cos⁡δ=(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2-4b^2)/(2d_1 d_2 )

    Биссектрисы углов в параллелограмме образуют равнобедренные треугольники. Благодаря этому, достаточно знать меньшую сторону параллелограмма и его углы, чтобы найти биссектрису. По теореме косинусов биссектриса в квадрате будет равна сумме квадратов двух других сторон в полученном треугольнике за вычетом удвоенного их произведения на косинус угла между ними.(рис.106.4) l_α=√(2a^2-2a^2 cos⁡β )=a√(2+2 cos⁡α ) l_β= b√(2-2 cos⁡α )