• Апофема и сторона основания правильной пирамиды

    Пирамида - сторона, ребро, площадь поверхности, площадь основания, площадь боковой поверхности, высота, апофема, периметр, объем, угол наклона граней, угол наклона ребер, угол сторон основания, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности, радиус описанной сферы, радиус вписанной сферы

    Свойства

    a - сторона основания
    b - ребро
    l - апофема
    h - высота
    r - радиус вписанной окружности
    r1 - радиус вписанной сферы
    V - объем
    S - площадь
    P - периметр
    α, β, γ - угол
    R - радиус описанной окружности
    R1 - радиус описанной сферы
    Апофема и сторона основания правильной пирамиды

    Вычисление

    Периметр основания правильной пирамиды равен произведению длины стороны основания на их удвоенное количество, а площадь – отношению количества сторон, умноженных на квадрат стороны, к четырем тангенсам угла из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. P=n(a+b) S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

    Радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник, являющимся основанием правильной пирамиды, равен отношению стороны к двум тангенсам того же угла, а радиус окружности, описанной вокруг такого многоугольника, - отношению стороны к двум синусам. (рис.34.1,34.2) r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

    Чтобы найти внутренний угол многоугольника в основании правильной пирамиды, нужно умножить 180 градусов на отношение разности количества сторон и двух единиц к самому количеству сторон такого многоугольника. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n

    Зная апофему и сторону основания правильной пирамиды, можно найти боковое ребро и высоту пирамиды из прямоугольных треугольников, образованных ими, через теорему Пифагора. (рис.34.4, 35.1) h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ) b=√(l^2+a^2/4)

    Угол между апофемой и основанием легко вычислить, найдя его косинус, который равен отношению радиуса вписанной в основание окружности к апофеме, и воспользовавшись таблицами Брадиса. Угол между боковым ребром и основанием находится аналогично через косинус, как отношение радиуса окружности, описанной вокруг основания, к боковому ребру. (рис.34.4, 34.5) cos⁡α=R/b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 √(l^2+a^2/4)) cos⁡β=r/l=a/(2l tan⁡〖(180°)/n〗 )

    Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды через апофему и сторону основания, необходимо сначала найти площадь одной ее грани-треугольника, и затем умножить ее на количество граней – сторон в основании. Площадь полной поверхности пирамиды будет равна сумме площади боковой поверхности и площади основания. S_(б.п.)=lan/2 S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

    Объем правильной пирамиды равен произведению площади основания на высоту, деленному на три. Подставив необходимое выражение вместо площади основания и высоты, получим форму объема пирамиды через апофему и сторону основания. V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 √(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12 tan⁡〖(180°)/n〗 )

    Чтобы вписать в правильную пирамиду сферу, ее радиус должен быть равен трем объемам, деленным на площадь полной поверхности пирамиды, а чтобы описать такую же сферу вокруг пирамиды, нужно чтобы ее радиус совпадал с отношением квадрата бокового ребра к двум высотам такой пирамиды. (рис.34.6, 34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =(na^2 √(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 (2l+a/tan⁡〖(180°)/n〗 ) ) R_1=b^2/2h=(4l^2+a^2)/(8√(l^2-(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))