• Площадь и высота правильной пирамиды

    Пирамида - сторона, ребро, площадь поверхности, площадь основания, площадь боковой поверхности, высота, апофема, периметр, объем, угол наклона граней, угол наклона ребер, угол сторон основания, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности, радиус описанной сферы, радиус вписанной сферы

    Свойства

    h - высота
    V - объем
    S - площадь
    Площадь и высота правильной пирамиды

    Вычисление

    Площадь основания правильной пирамиды зависит от длины стороны многоугольника и количества сторон. Поэтому, зная площадь основания, можно рассчитать длину стороны и затем все остальные параметры пирамиды. S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) a=√((4S tan⁡〖(180°)/n〗)/n) P=an=2√(nS tan⁡〖(180°)/n〗 )

    Радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, а также радиус окружности, описанной вокруг него зависят от значения площади основания в следующих пропорциях. (рис.34.1, 34.2) r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )=√nS/(2√(tan⁡〖(180°)/n〗 )) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )=√(nS tan⁡〖(180°)/n〗 )/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

    Внутренний угол основания, как правильного многоугольника, рассчитывается по количеству сторон фигуры. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n

    Через прямоугольные треугольники, соединяющие высоту с боковым ребром и высоту с апофемой по основанию через радиусы вписанной и описанной окружностей, можно рассчитать высоту и боковое ребро, зная площадь основания. (рис.34.4, 35.1) h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-nS/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )) b=√(l^2+nS/(4 cos⁡〖(180°)/n〗 sin⁡〖(180°)/n〗 ))

    Из этих же прямоугольных треугольников можно найти углы между основаниями и боковым ребром и апофемой через отношения косинуса. (рис.34.4, 34.5) cos⁡α=R/b cos⁡β=r/l

    Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания равна произведению периметра на половину апофемы. Площадь полной поверхности вычисляется как сумма полученного значения и площади основания. S_(б.п.)=lP/2 S_(п.п.)=lP/2+S

    Чтобы найти объем пирамиды, нужно умножить площадь основания на треть высоты пирамиды. V=1/3 S_(осн.) h

    Сфера, которую можно вписать в пирамиду, должна иметь радиус, равный отношению трех объемов к площади полной поверхности, которые можно вычислить через периметр и апофему пирамиды. Радиус сферы, которую можно описать вокруг пирамиды, должен быть равен квадрату боковой стороны, деленному на удвоенную высоту. (рис.34.6, 34.7) r_1=3V/S_(п.п.) R_1=b^2/2h