• Периметр и апофема правильной пирамиды

    Пирамида - сторона, ребро, площадь поверхности, площадь основания, площадь боковой поверхности, высота, апофема, периметр, объем, угол наклона граней, угол наклона ребер, угол сторон основания, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности, радиус описанной сферы, радиус вписанной сферы

    Свойства

    l - апофема
    S - площадь
    P - периметр
    Апофема и сторона основания правильной пирамиды

    Вычисление

    Зная периметр основания правильной пирамиды, можно легко вычислить сторону основания, разделив периметр на удвоенное количество сторон многоугольника. Площадь основания в свою очередь будет рассчитываться по стандартной формуле площади правильного многоугольника, в которую необходимо будет подставить выражение, соответствующее стороне основания через периметр. a=P/n S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )=P^2/(4n tan⁡〖(180°)/n〗 )

    Чтобы найти радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник в основании пирамиды, как и радиус окружности, описанной вокруг основания, необходимо знать сторону основания, поэтому здесь также пригодится полученное через периметр выражение. (рис.34.1,34.2) r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )=P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )=P/(2n sin⁡〖(180°)/n〗 )

    Величина внутреннего угла многоугольника в основании зависит только от количества сторон многоугольника и рассчитывается по следующей формуле. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n

    Зная апофему и сторону основания правильной пирамиды, вычисленной через периметр, можно рассчитать боковое ребро и высоту пирамиды по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках. (рис. 34.4, 35.1) h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-(P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ) b=√(l^2+P^2/(4n^2 ))

    Чтобы найти угол между основанием и апофемой, а также между основанием и боковым ребром, нужно сначала рассчитать косинусы этих углов в прямоугольных треугольниках, образованных высотой и соответствующим отрезком, которые через основание будут соединяться радиусы вписанной и описанной окружностей. (рис.34.4, 34.5) cos⁡α=R/b=P/(2n sin⁡〖(180°)/n〗 √(l^2+P^2/(4n^2 ))) cos⁡β=r/l=P/(2nl tan⁡〖(180°)/n〗 )

    Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания равна произведению периметра на половину апофемы. Площадь полной поверхности вычисляется как сумма полученного значения и площади основания. S_(б.п.)=lP/2 S_(п.п.)=P(l/2+P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))

    Чтобы найти объем пирамиды, необходимо знать не только периметр основания для расчета его площади, но и высоту пирамиды, которая равна квадратному корню из разности квадратов апофемы и радиуса вписанной в основание окружности. V=1/3 S_(осн.) h=(P^2 √(l^2-(P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12n tan⁡〖(180°)/n〗 )

    Сфера, которую можно вписать в пирамиду, должна иметь радиус, равный отношению трех объемов к площади полной поверхности, которые можно вычислить через периметр и апофему пирамиды. Радиус сферы, которую можно описать вокруг пирамиды, должен быть равен квадрату боковой стороны, деленному на удвоенную высоту. (рис.34.6, 34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =(P√(l^2-(P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 (l/2+P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 )) ) R_1=b^2/2h=(2l^2+P^2/n^2 )/(2√(l^2-(P/(2n tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))