• Высота и сторона основания правильной пирамиды

    Пирамида - сторона, ребро, площадь поверхности, площадь основания, площадь боковой поверхности, высота, апофема, периметр, объем, угол наклона граней, угол наклона ребер, угол сторон основания, радиус описанной окружности, радиус вписанной окружности, радиус описанной сферы, радиус вписанной сферы

    Свойства

    a - сторона основания
    b - ребро
    l - апофема
    h - высота
    r - радиус вписанной окружности
    r1 - радиус вписанной сферы
    V - объем
    S - площадь
    P - периметр
    α, β, γ - угол
    R - радиус описанной окружности
    R1 - радиус описанной сферы
    Высота и сторона основания правильной пирамиды

    Вычисление

    Зная сторону основания правильной пирамиды, то есть пирамиды, в основании которой лежит правильный многоугольник, можно найти периметр основания, его площадь, радиус окружностей, которые можно вписать или описать около него, а также угол между сторонами многоугольника.

    Периметр правильного многоугольника равен произведению длины его стороны на их удвоенное количество, а площадь представляет собой отношение количества сторон, умноженного на квадрат длины одной стороны, к четырем тангенсам 180 градусов, деленных на количество сторон. P=n(a+b) S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

    Чтобы найти радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, нужно разделить сторону основания на два тангенса из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. (рис.34.1) r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )

    Радиус окружности, описанной вокруг основания правильной пирамиды, равен отношению стороны основания к двум синусам того же угла.(рис.34.2) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

    Угол γ между сторонами правильного многоугольника, заложенного в основание пирамиды, легко найти, умножив 180 градусов на количество сторон многоугольника без двух, и деленное на полное количество сторон. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n

    Параметры самой пирамиды, как объемного тела, такие как боковое ребро и апофема пирамиды вычисляются через теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике с высотой во внутреннем пространстве пирамиды. Вторым катетом прямоугольного треугольника с апофемой является радиус вписанной окружности, а катетом треугольника с боковым ребром – радиус описанной окружности основания. (рис.34.4,34.5) l=√(h^2+r^2 )=√(h^2+(a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ) b=√(h^2+R^2 )=√(h^2+(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 )

    Угол между апофемой и основанием рассчитывается как отношение синуса – высоты к радиусу вписанной окружности, а угол между боковым ребром и основанием аналогично – высоты к радиусу описанной окружности, из тех же прямоугольных треугольников. sin⁡α=h/r=(2h tan⁡〖(180°)/n〗)/a sin⁡β=h/R=(2h sin⁡〖(180°)/n〗)/a

    Зная апофему и сторону основания пирамиды, можно найти площадь боковой поверхности, а затем площадь полной поверхности пирамиды. S_(б.п.)=lan/2 S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

    Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту, таким образом, зная высоту и сторону основания пирамиды, вычислить ее объем можно, подставив соответствующее выражение вместо площади основания. V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 h)/(12 tan⁡〖(180°)/n〗 )

    В любую правильную пирамиду (в основании которой лежит правильный многоугольник) можно вписать сферу, а также описать сферу около нее. Радиусы вписанной и описанной сфер зависят не только от высоты и стороны основания, но и от объема пирамиды, площади полной поверхности и бокового ребра пирамиды, поэтому для их вычисления необходимо произвести алгебраические преобразования формул. (рис.34.6,34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =ah/(tan⁡〖(180°)/n〗 (2l+a/tan⁡〖(180°)/n〗 ) ) R_1=b^2/2h=(h^2+(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2)/2h