• Угол между диагоналями "α" прямоугольника

    Прямоугольник - площадь, периметр, сторона, диагональ, угол деления диагональю, угол между диагоналями

    Свойства

    a, b - стороны
    d - диагональ
    α, β - углы между диагоналями
    γ,δ - угол от деления диагональю
    S - площадь
    P - периметр
    Угол между диагоналями α прямоугольника

    Вычисление

    Зная угол между диагоналями, можем найти оба угла пересечения диагонали со стороной. Если построить перпендикуляр из точки пересечения диагоналей в сторону – полуось симметрии прямоугольника, то мы получим прямоугольный треугольник, подобный тому, который образует диагональ со сторонами. Из этого треугольника видно, что углы, образованные сторонами и диагональю, в два раза меньше, чем углы при пересечении диагоналей. (рис. 56.2, 56.3) α=γ/2 β=δ/2

    При этом можно использовать свойство вертикальных углов, которое говорит о том, что острый и тупой угол в сумме дают 180 градусов, для того чтобы найти второй центральный угол. m(

    Или из прямоугольного треугольника с диагональю и сторонами найти сначала угол α и затем вычесть его из 90 градусов. m(

    Теперь имея угол, между стороной и диагональю, и саму диагональ, можно найти стороны, используя прямоугольный треугольник. (рис. 56.1) Отношение противолежащего катета – стороны к гипотенузе – диагонали является синусом угла α, следовательно, сторона прямоугольника равна произведению синуса на диагональ. Вторая сторона будет равна тогда произведению косинуса угла α на диагональ, так как она является прилежащей углу. b=d sin⁡α a=d cos⁡α

    Те же самые формулы в обратном порядке можно использовать для угла β: a=d sin⁡β b=d cos⁡β

    Если необходимо найти периметр и площадь прямоугольника, следует подставить в формулы вместо сторон выведенные выражения. P=2(a+b)=2(d sin⁡β+ d cos⁡β )=2d(sin⁡β+ cos⁡β) P=2d(sin⁡α+ cos⁡α) S=ab=d sin⁡β* d cos⁡β=d^2 sin⁡β cos⁡β S=d^2 sin⁡α cos⁡α

    Для того чтобы найти радиус окружности, которую можно описать вокруг прямоугольника, нужно разделить его диагональ на два, так как она совпадает с диаметром. (рис.56.3) R=d/2