• Периметр и диагональ прямоугольника

    Прямоугольник - площадь, периметр, сторона, диагональ, угол деления диагональю, угол между диагоналями

    Свойства

    a, b - стороны
    d - диагональ
    α, β - углы между диагоналями
    γ,δ - угол от деления диагональю
    S - площадь
    P - периметр
    Периметр и диагональ прямоугольника

    Вычисление

    Зная периметр прямоугольника и его диагональ можно составить систему уравнений с двумя неизвестными, благодаря которой становится возможным решить задачу методом подстановки. (Рис.56.1) {█(P=2(a+b)@a^2+b^2=d^2 )┤

    Чтобы решить такую систему, необходимо выразить одну сторону из первого уравнения. P=2(a+b) P=2a+2b 2a=P-2b a=P/2-b

    Теперь полученное выражение для переменной «a» подставляем во второе уравнение и находим значение переменной «b». (P/2-b)^2+b^2=d^2 〖P^2/4-Pb+b^2+b〗^2=d^2 〖2b〗^2-Pb+P^2/4-d^2=0

    Получилось квадратное уравнение, для решения которого нужно найти дискриминант. D=b^2-4ac=P^2-4*2*(P^2/4-d^2 )=P^2-2P^2+8d^2=8d^2-P^2

    В данном уравнении при значении дискриминанта больше либо равном нулю 8d^2-P^2 ≥ 0, будет два решения. Это и будут обе стороны прямоугольника x=(-b±√(b^2-4ac))/2a b=(P+√(8d^2-P^2 ))/4 a=(P-√(8d^2-P^2 ))/4

    Углы пересечения диагоналей со сторонами α и β можно найти из соотношения сторон в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю. Тангенс угла α равен отношению b к a, а тангенс угла β равен отношению a к b. α=arc tan⁡〖b/a〗 β=arc tan⁡〖a/b〗

    Вертикальные углы при пересечении диагоналей можно вычислить, удвоив величины углов α и β, как видно из рисунка. (рис. 56.2) γ=2α δ=2β

    Радиус описанной окружности прямоугольника через диагональ вычисляется делением ее на два, так как точка пересечения диагоналей, которая является центром окружности, делит диагонали на две равные части – радиусы (рис. 56.3) R=d/2