• Диагонали ромба

    Диагонали ромба

    Вычисление

    Диагонали ромба обладают рядом особенностей, которые позволяют использовать их в вычислениях самих по себе. Во-первых, диагонали ромба пересекаются под прямым углом, что значит, что они образуют прямоугольные треугольники во внутреннем пространстве фигуры со стороной в качестве гипотенузы. Во-вторых, узнать длину катетов этих треугольников достаточно просто, так как точкой пересечения – вершиной прямого угла, диагонали делятся на две равные части. Подставив это в теорему Пифагора, можно найти сторону ромба как половину квадратного корня из произведения диагоналей. (рис.115.2) a=√(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 )/2

    Угол напротив каждой диагонали можно найти из равнобедренных треугольников по теореме косинуса, заменив сторону ромба на полученный радикал. (рис.115.4) cos⁡α=(〖2a〗^2-〖d_1〗^2)/〖2a〗^2 =((〖d_1〗^2+〖d_2〗^2)/2-〖d_1〗^2)/((〖d_1〗^2+〖d_2〗^2)/2)=(〖d_2〗^2-〖d_1〗^2)/(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 ) cos⁡β=(〖2a〗^2-〖d_2〗^2)/〖2a〗^2 =(〖d_1〗^2-〖d_2〗^2)/(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 )

    Чтобы найти высоту ромба через диагонали, надо умножить выражение, соответствующее стороне на синус найденного угла, как отношение катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. (рис.115.1) h=a sin⁡α=sin⁡α √(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 )/2

    Периметр ромба будет равен радикалу стороны, умноженному на четыре (коэффициенты сокращаются, и остается два), а площадь – радикалу, возведенному в квадрат и умноженному на синус угла α. P=4a=2√(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 ) S=a^2 sin⁡α=(sin⁡α (〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 ))/4

    Радиус окружности, вписанной в ромб, представляет собой перпендикуляр стороны, проведенный к точке пересечения диагоналей, при продлении которой ровно в два раза получается высота ромба. Соответственно, чтобы найти радиус вписанной окружности через диагонали ромба, нужно разделить полученную формулу для высоты на два. (рис.115.3) r=h/2=sin⁡α √(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2 )/4