• Площадь и высота усеченного конуса

    Усеченный конус - образующая, высота, объем, площадь, радиус, диагональ осевого сечения, угол наклона образующей

    Свойства

    r, R - радиус
    l - образующая
    h - высота
    α, β - угол
    V - объем
    S - площадь
    Площадь и высота усеченного конуса

    Вычисление

    Если даны площади оснований усеченного конуса, то не составит труда найти радиус оснований, а затем их диаметр и периметр по стандартным формулам окружностей. r=√(S_r/π) R=√(S_R/π) d=2√(S_r/π) D=2√(S_R/π) p=2√(πS_r ) P=2√(πS_R )

    Теперь, зная высоту и радиусы оснований усеченного конуса, необходимо найти апофему, используя внутреннюю прямоугольную трапецию. Построив в ней дополнительный прямоугольный треугольник, можно вычислить апофему по теореме Пифагора, где катетами будут высота и разность радиусов оснований. Из этого же треугольника можно через тангенс найти угол при большем основании, и отняв его из 180 градусов по правилу суммы углов трапеции найти угол между апофемой и меньшим основанием. l=√(h^2+(R-r)^2 )=√(h^2+(√(S_R )-√(S_r ))^2/π) cos⁡β=(R-r)/l=(√(S_R )-√(S_r ))/(l√π) α=180°-β

    Чтобы найти плoщадь боковой поверхности усеченного конуса, понадобятся не только значения радиусов окружностей, лежащих в его основаниях, но и апофема, найденная выше по теореме Пифагора. Площадь полной поверхности усеченного конуса будет включать в себя вычисленную площадь боковой поверхности и площади оснований. S_(б.п.)=πl(R+r)=l(√(πS_r )+√(πS_R )) S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_r+S_R=l(√(πS_r )+√(πS_R ))+S_r+S_R

    Чтобы найти объем усеченного конуса, также понадобятся высота и площади оснований, которые в соответствующем алгебраическом виде дадут нужный результат. V=h/3 (S_r+√(S_r S_R )+S_R )