• Теорема косинусов

    Теорема косинусов гласит, что в любом произвольном треугольнике можно найти третью сторону, зная две других и угол между ними. a2=b2+c2+2bc cos⁡α

    Доказательство теоремы косинусов проходит через прямоугольный треугольник, полученный внутри заданного дополнительным построением высоты. Предположим, что сторона а неизвестна, тогда проведем высоту на сторону с и найдем проекцию стороны b на сторону c из отношения косинуса в прямоугольном треугольнике. bc=b cos⁡α

    Так как сторона с состоит из двух проекций сторон b и а на нее, следовательно, проекция ac равна следующей разности: ac=c-bc=c-b cos⁡α

    Зная все составляющие внутренних прямоугольных треугольников, можем составить теорему Пифагора, для того чтобы выразить через нее высоту, являющуюся общим звеном для обеих фигур. h2=b2-bc2=b2-(b cos⁡α)2
    h2=a2-ac2=a2-(c-b cos⁡α)2=a2-c2+2bc cos⁡α-(b cos⁡α)2

    Приравнивая полученные для высоты выражения друг к другу, приводим подобные слагаемые, и получаем, что неизвестная сторона а во второй степени равна сумме квадратов двух других сторон и разности с их удвоенным произведением на косинус угла между ними, что и требовалось доказать.
    b2-(b cos⁡α)2=a2-c2+2bc cos⁡α-(b cos⁡α)2
    a2=b2+c2+2bc cos⁡α

    Стороны и угол треугольника

    Найти сторону треугольника, по теореме косинусов

    найти еще и углы