Модуль и аргумент комплексного числа

Модуль комплексного числа по определению схож с модулем действительного числа, так как в обоих случаях модуль является расстоянием от нуля до точки в системе координат, которая определяет число. Единственная разница заключается в том, что модуль действительного числа расположен на числовой оси и равен самому числу, а модуль комплексного числа лежит в линейной системе координат. (рис. 26)

Таким образом, в прямоугольном треугольнике с катетами, равными действительной и мнимой части комплексного числа, его модуль является гипотенузой. Гипотенуза прямоугольного треугольника по теореме Пифагора равна квадратному корню из суммы квадратов катетов, соответственно модуль комплексного числа равен квадратному корню из суммы квадратов коэффициентов его действительной и мнимой части. Модуль комплексного числа также может обозначаться как r, поскольку он является радиус-вектором, направленным из нуля в точку, определяющую положение числа в системе координат.

Аргументом комплексного числа называется угол между осью абсцисс на графике (осью действительных чисел, называемой обычно числовой осью) и самим радиус-вектором. Чтобы найти этот угол в I и IV плоскостях графика необходимо найти арктангенс отношения мнимой части к действительной. Если число находится во II части графика, то к этому значению нужно прибавить число π, а если в III части, то –π.