Площадь круга

Для того чтобы найти площадь круга, существует единственная формула, которую нужно запомнить – это произведение числа π на квадрат радиуса.
Доказательством этой формулы будет служить следующий расчет. На чертеже внутри и снаружи круга рисуем правильный многоугольник – многоугольник с равными сторонами.

Из центра круга проводим радиусы в указанные вершины многоугольников. Радиусы во вписанном многоугольнике делят его на определенное количество n одинаковых равнобедренных треугольников. Таким образом, площадь вписанного многоугольника – это n площадей треугольников S_в=nS_∆. Тогда как площадь каждого треугольника, исходя из его свойств, равна . Так как конгруэнтные стороны a этого треугольника являются радиусами, то формула приобретает вид , а формула площади всего многоугольника – , считая сумму всех сторон nc, как периметр многоугольника P. Аналогично получаем площадь описанного многоугольника: . Если считать, что количество nc, как сторон многоугольника стремится к бесконечности, то его форма максимально приближается к кругу, и периметр становится близок по значению к длине окружности, а cosα стремится к 1. В этом случае обе формулы – и для вписанного, и для описанного многоугольника приобретают следующий вид:

Поскольку радиус тесно связан отношениями с диаметром и длиной окружности, то путем нехитрых замен можно также вычислить площадь круга через диаметр или длину окружности.
Диаметр – это удвоенный радиус, следовательно, подставляя его в формулу вместо последнего, нужно разделить его обратно на два. Так как в первоначальной формуле S=πr² радиус возводится во вторую степень, полученная половина диаметра также должна будет быть в квадрате, и это уже будет выглядеть как .

Длина окружности представляет собой удвоенное произведение радиуса и числа π: P=2πr, обратным методом получаем, что радиус равен длине окружности, разделенной на его множитель: . Подставляя это в основную формулу, не забываем возвести выражение во вторую степень, и получаем, что площадь круга через длину окружности равна .