Площадь параллелограмма

Первый способ вычисления площади параллелограмма связан с одной из самых простых фигур – прямоугольником. Доказательство: если провести в параллелограмме высоту h, то мы разделим его на две фигуры – треугольник и трапецию.

 

Совершив несложное перемещение треугольника по другую сторону трапеции, мы получим прямоугольник, равный по площади нашему параллелограмму. И поскольку площадь прямоугольника находится умножением его сторон, то в данном случае мы поступим аналогично, только вместо длины прямоугольника в формуле будет сторона параллелограмма, а вместо ширины – его высота.

Второй способ использует для нахождения площади параллелограмма его стороны и синус острого угла между ними. Это логически вытекает из первого способа, в случае если высота неизвестна. Доказательство: высота в параллелограмме всегда образует прямоугольный треугольник с одной из сторон, в котором действуют тригонометрические отношения.

Синус угла, по определению, это отношение противолежащего катета к гипотенузе – то есть высоты к стороне для параллелограмма: , следовательно . Подставляем в формулу из первого способа:

Третий способ основан на диагоналях параллелограмма и углу между ними. Доказательство: Диагонали делят параллелограмм на 4 треугольника, соответственно площадь параллелограмма будет состоять из площадей этих треугольников: .

Используем следующую формулу для нахождения площади треугольника , а учитывая, что , то во всех площадях треугольников будет фигурировать один и тот же sin⁡ γ, потому что между диагоналями все углы дополнительные друг другу до 180°, то есть или γ, или 180°-γ.
Тогда получаем: .
Выносим за скобки: Методом группировки собираем скобку в множители (помним, что AO и OA это одно и то же): И здесь уже из чертежа видно,что AO+OC вместе составляют диагональ AC, и BO+OD=BD. Таким образом, получаем формулу: или в общем виде, для любого параллелограмма , где d₁ и d₂ – диагонали, а γ – острый угол между ними.