Используя равнобедренный треугольник, где в качестве сторон выступают диаметр основания и образующие по обеим его сторонами, можно найти угол между образующей и основанием, равный половине разности угла раствора от 180 градусов. Затем через найденный угол с основанием в прямоугольном треугольнике с высотой и радиусом можно вычислить саму образующую и радиус конуса. (рис. 40.2, 40.1) β=(180°-α)/2 l=h/sinβ r=cotβ h
Подставив полученное значение радиуса в формулы основания, такие как диаметр, периметр и площадь, найдем их через угол и высоту конуса. d=2r=2 cotβ h P=2πr=2π cotβ h S_(осн.)=πr^2=πh^2 cot^2β
Чтобы вычислить площадь боковой поверхности через угол раствора и высоту конуса необходимо воспользоваться полученным углом между образующей и основанием и тригонометрическими отношениями для радиуса и образующей конуса, подставив их в нужные формулы. S_(б.п.)=πrl=π ( cotβ h^2)/sinβ =πh^2 cosβ S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πh^2 (cosβ+cot^2β )
Объем конуса стандартно выражен через площадь основания и высоту, разделенные на три. Так как площадь основания равна произведению числа π на квадрат высоты и квадрат котангенса угла β, то необходимо подставить это выражение в формулу вместо площади, чтобы найти объем через угол раствора и высоту. V=(hS_(осн.))/3=(πh^3 cot^2β)/3
Радиусы вписанной и описанной сфер около конуса могут быть найдены с использованием угла раствора и угла при основании конуса с тем небольшим изменением в формулах, что вместо радиуса будет подставлено произведение высоты на котангенс угла наклона. (рис.40.3, 40.4) r_1=r tan〖β/2〗=h cotβ tan〖β/2〗 R=r/sinα =(cotβ h)/sinα