Зная диагонали и сторону a в параллелограмме, можно найти угол пересечения диагоналей, находящийся напротив известной стороны. В треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной параллелограмма, косинус угла будет равен сумме квадратов половин диагоналей за вычетом квадрата стороны a, деленной на удвоенное произведение половин диагоналей.(рис.106.3) cosγ=(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2-a^2)/((d_1 d_2)/4)=(〖d_1〗^2+〖d_2〗^2-4a^2)/(2d_1 d_2 )
Второй центральный угол является дополнительным до 180 градусов для угла γ, и может быть найден через разность. Затем методом, обратным вышеописанному, из другого треугольника можно найти сторону b. δ=180°-γ cosδ=-cosγ b=√(〖d_1/4〗^2+〖d_2/4〗^2+2d_1 d_2 cosγ )
Зная диагонали и стороны параллелограмма, можно найти углы параллелограмма также через теорему косинусов. (рис.106.2) cosα=(a^2+b^2-〖d_2〗^2)/2ab β=180°-α
Высота параллелограмма может быть рассчитана из прямоугольного треугольника, так как, являясь катетом, она относится к гипотенузе, как синус противолежащего ей угла α, вне зависимости от того, на какую сторону она опущена. Поэтому, выразив высоту через синус, можно подставить выражение для стороны a и найти ее через диагонали. (рис.106.1) h_b=a sinα h_a=b sinα
Биссектрисой параллелограмма называется отрезок, делящий пополам угол α или β, и проведенный до ближайшей стороны. Примечательно, что для обеих биссектрис отрезок всегда будет пересекать более длинную сторону параллелограмма, образуя равнобедренный треугольник. В таком треугольнике, зная угол и меньшую сторону параллелограмма, можно найти биссектрису, через диагонали это возможно сделать, заменив выражения в формуле эквивалентными. (рис.106.4) l_α=√(2a^2-2a^2 cosβ )=a√(2-2 cosβ ) l_β= b√(2-2 cosα )