Площадь основания правильной пирамиды зависит от длины стороны многоугольника и количества сторон. Поэтому, зная площадь основания, можно рассчитать длину стороны и затем все остальные параметры пирамиды. S=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 ) a=√((4S tan〖(180°)/n〗)/n) P=an=2√(nS tan〖(180°)/n〗 )
Радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, а также радиус окружности, описанной вокруг него зависят от значения площади основания в следующих пропорциях. (рис.34.1, 34.2) r=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )=√nS/(2√(tan〖(180°)/n〗 )) R=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )=√(nS tan〖(180°)/n〗 )/(2 sin〖(180°)/n〗 )
Внутренний угол основания, как правильного многоугольника, рассчитывается по количеству сторон фигуры. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n
Через прямоугольные треугольники, соединяющие высоту с боковым ребром и высоту с апофемой по основанию через радиусы вписанной и описанной окружностей, можно рассчитать высоту и боковое ребро, зная площадь основания. (рис.34.4, 35.1) h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-nS/(4 tan〖(180°)/n〗 )) b=√(l^2+nS/(4 cos〖(180°)/n〗 sin〖(180°)/n〗 ))
Из этих же прямоугольных треугольников можно найти углы между основаниями и боковым ребром и апофемой через отношения косинуса. (рис.34.4, 34.5) cosα=R/b cosβ=r/l
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания равна произведению периметра на половину апофемы. Площадь полной поверхности вычисляется как сумма полученного значения и площади основания. S_(б.п.)=lP/2 S_(п.п.)=lP/2+S
Чтобы найти объем пирамиды, нужно умножить площадь основания на треть высоты пирамиды. V=1/3 S_(осн.) h
Сфера, которую можно вписать в пирамиду, должна иметь радиус, равный отношению трех объемов к площади полной поверхности, которые можно вычислить через периметр и апофему пирамиды. Радиус сферы, которую можно описать вокруг пирамиды, должен быть равен квадрату боковой стороны, деленному на удвоенную высоту. (рис.34.6, 34.7) r_1=3V/S_(п.п.) R_1=b^2/2h