Ребро и сторона основания правильной пирамиды

Сторона основания пирамиды является стороной правильного многоугольника, исходя из этого, можно найти все параметры пирамиды, связанные с основанием, воспользовавшись формулами для правильных многоугольников. P=n(a+b) S=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, нужно разделить сторону основания на два тангенса из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. (рис.34.1) r=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус окружности, описанной вокруг основания правильной пирамиды, равен отношению стороны основания к двум синусам того же угла. (рис.34.2) R=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Угол γ между сторонами правильного многоугольника, заложенного в основание пирамиды, легко найти, умножив 180 градусов на количество сторон многоугольника без двух, и деленное на полное количество сторон. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n

Зная боковое ребро в совокупности со стороной основания, можно вычислить высоту пирамиды и ее апофему из прямоугольных треугольников, которые они образуют. (рис.34.5, 35.1) h=√(b^2-R^2 )=√(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ) l=√(b^2-a^2/4)

Косинус угла между боковым ребром и основанием будет равен отношению радиуса окружности, описанной вокруг основания, к боковому ребру пирамиды, а косинус угла между апофемой и основанием – отношению радиуса вписанной в основание окружности к апофеме. (рис.34.4,34.5) cos⁡α=R/b=a/(2b sin⁡〖(180°)/n〗 ) cos⁡β=r/l=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 √(b^2-a^2/4))

Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площадей треугольников, являющихся ее гранями, каждая из которых равна половине произведения апофемы на сторону основания, а площадь полной поверхности представляет собой сумму площади боковой поверхности и площади основания. S_(б.п.)=lan/2=(√(b^2-a^2/4) an)/2 S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))=an(√(b^2-a^2/4)/2+a/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Чтобы найти объем пирамиды, необходимо вычислить треть от произведения ее высоты на площадь основания, последовательно подставив выражения для площади и высоты в формулу. V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 √(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12 tan⁡〖(180°)/n〗 )

Радиус сферы, которая может быть вписана в пирамиду, равен трем объемам, деленным на площадь полной поверхности пирамиды, а радиус сферы, описанной вокруг пирамиды – квадрату бокового ребра, деленному на две высоты. (рис.34.6,34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =(a√(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(tan⁡〖(180°)/n〗 (2√(b^2-a^2/4)+a/tan⁡〖(180°)/n〗 ) ) R_1=b^2/2h=b^2/(2√(b^2-(a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ))^2 ))