Зная периметр основания правильной пирамиды, можно легко вычислить сторону основания, разделив периметр на удвоенное количество сторон многоугольника. Площадь основания в свою очередь будет рассчитываться по стандартной формуле площади правильного многоугольника, в которую необходимо будет подставить выражение, соответствующее стороне основания через периметр. a=P/n S=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )=P^2/(4n tan〖(180°)/n〗 )
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник в основании пирамиды, как и радиус окружности, описанной вокруг основания, необходимо знать сторону основания, поэтому здесь также пригодится полученное через периметр выражение. (рис.34.1,34.2) r=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )=P/(2n tan〖(180°)/n〗 ) R=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )=P/(2n sin〖(180°)/n〗 )
Величина внутреннего угла многоугольника в основании зависит только от количества сторон многоугольника и рассчитывается по следующей формуле. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n
Зная апофему и сторону основания правильной пирамиды, вычисленной через периметр, можно рассчитать боковое ребро и высоту пирамиды по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках. (рис. 34.4, 35.1) h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ) b=√(l^2+P^2/(4n^2 ))
Чтобы найти угол между основанием и апофемой, а также между основанием и боковым ребром, нужно сначала рассчитать косинусы этих углов в прямоугольных треугольниках, образованных высотой и соответствующим отрезком, которые через основание будут соединяться радиусы вписанной и описанной окружностей. (рис.34.4, 34.5) cosα=R/b=P/(2n sin〖(180°)/n〗 √(l^2+P^2/(4n^2 ))) cosβ=r/l=P/(2nl tan〖(180°)/n〗 )
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания равна произведению периметра на половину апофемы. Площадь полной поверхности вычисляется как сумма полученного значения и площади основания. S_(б.п.)=lP/2 S_(п.п.)=P(l/2+P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))
Чтобы найти объем пирамиды, необходимо знать не только периметр основания для расчета его площади, но и высоту пирамиды, которая равна квадратному корню из разности квадратов апофемы и радиуса вписанной в основание окружности. V=1/3 S_(осн.) h=(P^2 √(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12n tan〖(180°)/n〗 )
Сфера, которую можно вписать в пирамиду, должна иметь радиус, равный отношению трех объемов к площади полной поверхности, которые можно вычислить через периметр и апофему пирамиды. Радиус сферы, которую можно описать вокруг пирамиды, должен быть равен квадрату боковой стороны, деленному на удвоенную высоту. (рис.34.6, 34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =(P√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(2n tan〖(180°)/n〗 (l/2+P/(2n tan〖(180°)/n〗 )) ) R_1=b^2/2h=(2l^2+P^2/n^2 )/(2√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))