Зная угол между диагоналями, можем найти оба угла пересечения диагонали со стороной. Если построить перпендикуляр из точки пересечения диагоналей в сторону – полуось симметрии прямоугольника, то мы получим прямоугольный треугольник, подобный тому, который образует диагональ со сторонами. Из этого треугольника видно, что углы, образованные сторонами и диагональю, в два раза меньше, чем углы при пересечении диагоналей. (рис. 56.2, 56.3) α=γ/2 β=δ/2
При этом можно использовать свойство вертикальных углов, которое говорит о том, что острый и тупой угол в сумме дают 180 градусов, для того чтобы найти второй центральный угол. m(<γ)+m(<δ)=180°
Или из прямоугольного треугольника с диагональю и сторонами найти сначала угол α и затем вычесть его из 90 градусов. m(<α)+m(<β)=90°
Теперь имея угол, между стороной и диагональю, и саму диагональ, можно найти стороны, используя прямоугольный треугольник. (рис. 56.1) Отношение противолежащего катета – стороны к гипотенузе – диагонали является синусом угла α, следовательно, сторона прямоугольника равна произведению синуса на диагональ. Вторая сторона будет равна тогда произведению косинуса угла α на диагональ, так как она является прилежащей углу. b=d sin(α/2) a=d cos(α/2)
Те же самые формулы в обратном порядке можно использовать для угла β: a=d sinβ b=d cosβ
Если необходимо найти периметр и площадь прямоугольника, следует подставить в формулы вместо сторон выведенные выражения. P=2(a+b)=2(d sinβ+ d cosβ )=2d(sinβ+ cosβ) P=2d(sinα+ cosα) S=ab=d sinβ* d cosβ=d^2 sinβ cosβ S=d^2 sinα cosα
Для того чтобы найти радиус окружности, которую можно описать вокруг прямоугольника, нужно разделить его диагональ на два, так как она совпадает с диаметром. (рис.56.3) R=d/2