Радиус описанной окружности вокруг правильного многоугольника равен отношению его стороны к двум синусам угла, представляющего собой частное 180 градусов и количества сторон. Вывести из этого формулу стороны можно, умножив радиус на знаменатель. R=a/(2 sin〖(180°)/n〗 ) a=2R sin〖(180°)/n〗
Тогда периметр многоугольника будет равен произведению этого выражения на количество сторон. P=na=2nR sin〖(180°)/n〗
Радиус вписанной окружности выглядит похожим образом на радиус описанной окружности, поэтому при подстановке выведенной формулы вместо стороны многоугольника, выражение частично упростится. r=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )=r=(2R sin〖(180°)/n〗)/(2 tan〖(180°)/n〗 )=R cos〖(180°)/n〗
Площадь равностороннего многоугольника равна квадрату стороны, умноженному на количество сторон и деленному на четыре тангенса означенного угла, поэтому выразив сторону через радиус, получится n-ное количество квадратов радиуса описанной окружности, умноженное на тангенс известного угла. S=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )=(n(2R sin〖(180°)/n〗 )^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )=nR^2 tan〖(180°)/n〗
При этом сам внутренний угол многоугольника остается равен произведению разности количества сторон и двух на 180 градусов, деленных на n. α=(n-2) (180°)/n