Сторона "A" и угол "α" равнобедренного треугольника

Основным элементом равнобедренного треугольника является высота, проведенная к основанию, она же медиана, она же биссектриса. Благодаря этим свойствам, она делит основание на две равные части под прямым углом, образуя прямоугольный треугольник с катетами в виде высоты и половины основания и гипотенузой, которая является боковой стороной. Поэтому, зная боковую сторону и угол α можно найти основание, высоту, и затем все остальные параметры. (рис.88.2) h_b=m_b=l_b=a sin⁡α b=2a cos⁡α

Периметр треугольника равен сумме двух боковых сторон и основания или удвоенного произведения боковой стороны на косинус угла. Площадь, как половина произведения основания на высоту, представлена в виде квадрата боковой стороны, умноженной на синус и косинус угла. P=2a+b=2a+2a cos⁡α S=hb/2=(a^2 sin⁡α)/2

Найти угол β равнобедренного треугольника через угол α можно, зная, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам. (рис.88.1) β=180°-2α

Так как высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, равна высоте и биссектрисе, а две боковые стороны равны между собой, следовательно оставшиеся высоты медианы и биссектрисы опущенные на них, также между собой равны. (рис.88.3, 88.4, 88.8) Вычислить медиану, биссектрису и высоту через боковую сторону и угол α можно, подставив их в соответствующие формулы. m_a=√(a^2+2b^2 )/2=√(a^2+8a^2 cos^2⁡α )/2=(a√(1+8 cos^2⁡α ))/2 h_a=(b√((4a^2-b^2)))/2a=(2a cos⁡α √((4a^2-4a^2 cos^2⁡α)))/2a=2a cos⁡α √((1-cos^2⁡α)) l_a=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)=(2a cos⁡α √(2+2 cos⁡α ))/(1+2 cos⁡α )

Средняя линия любого треугольника равна стороне, которой она параллельна, деленной на два. Если заменить сторону b на удвоенное произведение стороны a на косинус угла α, то данная средняя линия будет равна боковой стороне, умноженной на этот косинус. (рис.88.5) M_b=b/2=(2a cos⁡α)/2=a cos⁡α M_a=a/2

Если вписать в равнобедренный треугольник окружность, то ее радиус будет равен упрощенному радикалу, полученному из общей формулы радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник. Подставив в нее вместо стороны b известную боковую сторону и удвоенный косинус угла при основании, можно еще более упростить выражение. (рис.88.6) r=b/2 √((a-2b)/(a+2b))=(2a cos⁡α)/2 √((a-2*2a cos⁡α)/(a+2*2a cos⁡α ))=a cos⁡α √((1-4 cos⁡α)/(1+4 cos⁡α ))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании, выглядит как отношение боковой стороны к двум квадратным корням из разности единицы и косинуса угла при основании во второй степени. (рис.88.7) R=a^2/√(4a^2-b^2 )=a^2/√(4a^2-4a^2 cos^2⁡α )=a/(2√(1-cos^2⁡α ))