Стороны и площадь усеченной пирамиды

В основаниях правильной усеченной пирамиды лежат правильные равносторонние многоугольники, зная длину стороны которых можно рассчитать периметр, площадь, радиусы вписанных и описанных окружностей и даже внутренний угол таких многоугольников. γ=180°(n-2)/n P=n(a+b+d) S_a=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) S_b=(nb^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_a=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_b=b/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R_a=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ) R_b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды зависит не только от сторон оснований пирамиды, но и от ее апофемы, поэтому имея данные о сторонах и боковой площади, можно вычислить апофему, преобразовав данную формулу. S_(б.п.)=nf (a+b)/2 f=(2S_(б.п.))/n(a+b)

Затем, зная апофему усеченной пирамиды, можно найти боковое ребро через прямоугольную трапецию, которая образована ими по боковой грани пирамиды. В основаниях такой трапеции лежат половины сторон оснований пирамиды, поэтому в прямоугольном треугольнике внутри трапеции боковое ребро будет вычисляться по теореме Пифагора. (рис. 50.2) d=√(f^2+(b/2-a/2)^2 )=√(f^2+(b-a)^2/4)

Чтобы найти высоту усеченной пирамиды, необходимо рассмотреть такую же трапецию внутри усеченной пирамиды, тогда в ней высота будет равна аналогичному радикалу через радиусы вписанных в основания окружностей и апофему. (рис. 50.3) h=√(f^2-(r_b-r_a )^2 )

Чтобы рассчитать углы при основаниях усеченной пирамиды и апофеме, можно воспользоваться в этой же трапеции/прямоугольном треугольнике тригонометрическими отношениями и принципом суммы углов трапеции. cos⁡β=(r_b-r_a)/f α=180°-β

Углы при основаниях и апофеме усеченной пирамиды можно вычислить в трапеции, которую боковое ребро образует с высотой пирамиды подобным образом, через радиусы вписанных в основания окружностей. (рис. 50.4) cos⁡δ=(R_b-R_a)/2d ε=180°-δ

Так как площадь полной поверхности правильной усеченной пирамиды состоит из площади боковой поверхности и двух площадей оснований, то нужно просто добавить к уже имеющейся площади боковой поверхности найденные основания. S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.1,2)=S_(б.п.)+n(a^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )+b^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем правильной усеченной пирамиды равен одной трети высоты, умноженной на сложенные вместе площади оснований и квадратный корень из их произведения. V=1/3 h(S_осн1+S_осн2+√(S_осн1 S_осн2 ))