Стороны и ребро усеченной пирамиды

Зная стороны оснований усеченной пирамиды, можно вычислить внутренний угол оснований, представленных правильными многоугольниками, периметры и площади оснований усеченной пирамиды, а также радиусы вписанной и описанной около оснований окружностей, воспользовавшись формулами для правильных многоугольников. γ=180°(n-2)/n P=n(a+b+d) S_a=(na^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) S_b=(nb^2)/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_a=a/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) r_b=b/(2 tan⁡〖(180°)/n〗 ) R_a=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 ) R_b=a/(2 sin⁡〖(180°)/n〗 )

Боковое ребро усеченной пирамиды дает возможность рассчитать через трапеции во внутреннем и боковом пространстве пирамиды апофему и высоту, а также углы между ними и основаниями. Чтобы найти апофему усеченной пирамиды, рассмотрим боковую грань, представляющую собой равнобедренную трапецию, разделенную апофемой на две конгруэнтные прямоугольные трапециями, основаниями которых являются половины сторон оснований самой пирамиды. Исходя из этого апофема равна по теореме Пифагора квадратному корню из разности квадрата бокового ребра и квадрата разности половин сторон оснований пирамиды. (рис. 50.2) f=√(d^2-(b/2-a/2)^2 )=√(d^2-(b-a)^2/4)

Чтобы найти высоту усеченной пирамиды, рассмотрим трапецию во внутреннем пространстве тела, между высотой и боковым ребром. Основаниями такой трапеции служат половины радиусов описанных окружностей вокруг оснований усеченной пирамиды. Следовательно, формула высоты по аналогии с апофемой выглядит следующим образом. (рис. 50.3) h=√(d^2-(R_b-R_a )^2 )

Чтобы рассчитать углы при основаниях усеченной пирамиды и боковом ребре, можно воспользоваться в этой же трапеции/прямоугольном треугольнике тригонометрическими отношениями и принципом суммы углов трапеции. cos⁡δ=(R_b-R_a)/d ε=180°-δ

Углы при основаниях и апофеме усеченной пирамиды можно вычислить в трапеции, которую апофема образует с высотой пирамиды подобным образом, через радиусы вписанных в основания окружностей. (рис. 50.4) cos⁡β=(r_b-r_a)/f α=180°-β

Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды состоит из n-ного количества равнобоких трапеций, площадь каждой из которых равна произведению полусуммы оснований трапеции на ее высоту, то есть, перекладывая на измерения пирамиды – полусуммы сторон оснований пирамиды на ее апофему. Чтобы найти площадь полной поверхности, нужно прибавить к полученному значению обе площади оснований усеченной пирамиды. S_(б.п.)=nf (a+b)/2 S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.1,2)=n(f (a+b)/2+a^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 )+b^2/(4 tan⁡〖(180°)/n〗 ))

Объем усеченной пирамиды, зная стороны оснований и боковое ребро, можно найти через высоту и площади оснований, найденные по указанным выше формулам. V=1/3 h(S_осн1+S_осн2+√(S_осн1 S_осн2 ))