Теорема косинусов

Теорема косинусов гласит, что в любом произвольном треугольнике можно найти третью сторону, зная две других и угол между ними. a²=b²+c²-2bc cos⁡α

Доказательство теоремы косинусов проходит через прямоугольный треугольник, полученный внутри заданного дополнительным построением высоты. Предположим, что сторона а неизвестна, тогда проведем высоту на сторону с и найдем проекцию стороны b на сторону c из отношения косинуса в прямоугольном треугольнике. b_c=b cos⁡α

Так как сторона с состоит из двух проекций сторон b и а на нее, следовательно, проекция a_c равна следующей разности: a_c=c-b_c=c-b cos⁡α

Зная все составляющие внутренних прямоугольных треугольников, можем составить теорему Пифагора, для того чтобы выразить через нее высоту, являющуюся общим звеном для обеих фигур. h²=b²-b_c²=b²-(b cos⁡α)²
h²=a²-a_c²=a²-(c-b cos⁡α)²=a²-c²+2bc cos⁡α-(b cos⁡α)²

Приравнивая полученные для высоты выражения друг к другу, приводим подобные слагаемые, и получаем, что неизвестная сторона а во второй степени равна сумме квадратов двух других сторон и разности с их удвоенным произведением на косинус угла между ними, что и требовалось доказать.
b²-(b cos⁡α)²=a²-c²+2bc cos⁡α-(b cos⁡α)²
a²=b²+c²-2bc cos⁡α