Теорема Фалеса

Теорема Фалеса говорит о том, что если в произвольном треугольнике провести внутри линию, параллельную любой из сторон, то отношения частей других сторон, образованных их делением линией, будут прямо пропорциональны друг другу. Это исходит из подобия треугольников – изначального и образованного параллельной линией. Подобие этих треугольников доказывается по принципу конгруэнтности трех углов:
<А – общий
<ADE ≡ <ABC, т.к. они являются соответственными углами при BC||DE и секущей AB
<AED ≡ <ACB, т.к. они являются соответственными углами при BC||DE и секущей AC

Следовательно, треугольники ABC и ADE являются подобными, и сторона AB относится к стороне AD, как сторона AC – к стороне AE:

Обратная теорема Фалеса заключает в те же отношения стороны треугольника, полученного проведением параллельной линии за пределами первоначального треугольника и продлением его сторон. Подобие треугольников доказывается аналогичным образом с тем исключением, что углы с вершиной в точке A будут различными, но конгруэнтными, так как они вертикальны.