Теорема тангенсов

Теорема тангенсов связывает в единую систему две стороны произвольного треугольника и противоположные им углы. Доказательство теоремы тангенсов, известной иначе как формулы Региомонтана, проистекает из теоремы синусов, согласно которой, каждая сторона произвольного треугольника равна удвоенному радиусу описанной окружности, умноженному на синус противолежащего ей угла.
a=2R sin⁡α
b=2R sin⁡β

Сумма и разность таких сторон будут соответственно равны произведению удвоенного радиуса на сумму либо разность синусов противолежащих углов.
a+b=2R(sin⁡α+sin⁡β)
a-b=2R(sin⁡α-sin⁡β)

Используя основное тригонометрическое тождество, уравнивающее сумму или разность двух синусов к удвоенному произведению синуса и косинуса приведенных углов, можно преобразовать указанные выражения.

Так как отношение синуса к косинусу одного и того же угла равно тангенсу, заменяем соответственно их в тождестве.